Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números e podemos ter:
- Números Naturais (N): reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.
- Números Inteiros (Z): reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos.
- Números Racionais (Q): reúne todos os números que podem ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.
- Números Irracionais (I): reúne os números decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica
- Números Reais (R): esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I).
Símbolos dos conjuntos
Os símbolos são utilizados para definir se um elemento pertence ou não a um determinado conjunto entre vários outros significados e símbolos. Vamos ver os símbolos mais utilizados:
- Pertence (∈): quando um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo ∈ (pertence) para representar tal situação. Por exemplo, i∈A pode-se ler como sendo i pertence ao conjunto A;
- Não pertence (∉): esse seria o contrário do símbolo anterior, ou seja, serve para quando um elemento não pertence a um determinado conjunto;
- Símbolo de contido (⊂) e contém (⊃): se o conjunto A é subconjunto do conjunto B, dizemos que A está contido em B (A ⊂ B) ou ainda que B contém A (B ⊃ A).
Exemplos:
A = { 0, 2, 4, 6, 8, …}
- 2 ∈ A – lê-se: 2 pertence a A.
- 3 ∉ A – lê-se: 3 não pertence a A.
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
- A ⊂ B – lê-se: A está contido em B.
- B ⊄A- lê-se: B não está contido em A
- B ⊃A – lê-se: B contém A
Operações com conjuntos
As operações com conjuntos são as operações feitas com os elementos que formam uma coleção. São elas: união, intersecção e diferença.
União
Para representar a união usamos o símbolo U. A união é a junção dos elementos de dois ou mais conjuntos.
Podemos exemplificar da seguinte forma. Se temos dois conjuntos sendo A = {1, 3, 5, 7, 9 ,11} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, a união (A U B) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11}.
Intersecção
A intersecção de conjuntos corresponde aos elementos que se repetem nos conjuntos dados. Ela é representada pelo símbolo ∩, que assemelha-se com um U invertido.
Para exemplificar temos que A= { 1, 2, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 4, 6, 7}, temos que (A ∩ B) = {2,7}.
Diferença
No caso da diferença é como se fosse o oposto da intersecção. A diferença de conjuntos é representada pelos elementos de um conjunto que não aparecem no outro conjunto.
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferença é indicado por A – B (lê-se A menos B).
Então, no exemplo de A= {1, 2, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 4, 6, 7}, temos que (A – B) = {1, 3, 5, 9}
Então (B – A) = {4, 6}. Logo, a ordem dos fatores na diferença de conjuntos muda o resultado.
Conjunto complementar
Conjunto complementar está relacionado com a diferença de conjunto.
Achamos um conjunto complementar quando, por exemplo, é dado um conjunto A e B e o conjunto B e A, então B é complementar em relação a A.
A = {1, 4, 5, 6, 7}
B = {6,8}
B ⊂ A, então o conjunto complementar será CAB = A – B = {1, 4, 5, 7, 8}.
Propriedades da União e da Intersecção
As operações de união e intersecção apresentam propriedades importantes para serem aprendidas.
Dados três conjuntos A, B e C, as seguintes propriedades são válidas:
Propriedade comutativa
- A U B = B U A
- A ∩ B = B ∩ A
Propriedade associativa
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Propriedade distributiva
- A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Se A está contido em B (
):
- A U B = B <–> A ∩ B = A
- (A U C) ⊂ (B U C)
- (A ∩ C) ⊂ (B ∩ C)